Francesco Cavalli

Finalmente dimostrato l'ultimo teorema di Fermat


Nuova Libera Stampa, 9 ottobre 1993

La notizia, assolutamente inattesa, ha fatto rapidamente il giro del mondo lo scorso mese di giugno, suscitando interesse e anche un po' di incredulità, non solo tra i matematici di professione, ma anche presso il pubblico. Il quotidiano Le Monde del 25 giugno ha dedicato alla dimostrazione un titolo di prima pagina.
Di che cosa si tratta?
Quando si parla di teoremi, il primo a cui si pensa è quello di Pitagora (VI sec. a.C.). In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati dei cateti equivale al quadrato dell'ipotenusa. Il triangolo i cui lati misurano 3 ; 4 ; 5 è rettangolo in quanto 25 = 16 + 9. Lo stesso vale per il triangolo con i lati aventi le misure 8 ; 15 ; 17 e per molti altri. In un certo senso il teorema di Fermat può essere collegato a quello di Pitagora, almeno se si considera solo l'aspetto numerico. Infatti, sappiamo da tempo che, in certi casi, un quadrato può essere scomposto in una somma di due quadrati, come 25 = 16 + 9.
Ci si può allora chiedere se sia anche possibile scmporre un cubo in una somma di due cubi, una quarta potenza in una somma di due quarte potenze o, più in generale, risolvere con numeri interi non nulli l'equazione:

xn + yn = zn

Il fatto che questa equazione sia impossibile per ogni n maggiore di 2 costituisce l'ultimo teorema di Fermat.
Pierre de Fermat (1601 - 1665), definito dallo storico della matematica E.T.Bell "il re dei dilettanti", era un avvocato al parlamento di Tolosa. Contemporaneo di Descartes, Pascal e Mersenne, deve la sua fama ai numerosi scritti di matematica, dedicati all'analisi infinitesimale, alla geometria analitica, al calcolo delle probabilità, ma soprattutto alla teoria dei numeri.
Nelle sue ricerche aveva riscoperto e approfondito le opere di aritmetica del matematico greco Diofanto (III secolo d.C.) riprendendo alcuni problemi dimenticati da tempo.
Ed è proprio commentando una questione posta da Diofanto a proposito di somme di quadrati, che Fermat afferma che " non è possibile dividere un cubo in due cubi, o un biquadrato in due biquadrati, né, più in generale, dividere alcun'altra potenza di grado superiore al secondo in due altre potenze dello stesso grado; della qual cosa ho scoperto una dimostrazione veramente mirabile, che non può essere contenuta nella ristrettezza del margine."
Ebbene la ricerca di questa mirabile dimostrazione ha fatto ammattire i matematici per oltre tre secoli, ma nessuno era riuscito a venirne a capo fino al giugno 1993.
C'erano sì stati risultati parziali; già lo stesso Fermat, in un altro lavoro, aveva dimostrato che l'equazione è impossibile per n = 4. Eulero (1707 - 1783), il matematico la cui effigie si trova sulle banconote da dieci franchi, ottenne la dimostrazione per n = 3 e in seguito Lagrange (1736 - 1813) per n = 5.
Nel secolo scorso la dimostrazione è poi stata raggiunta anche per molti altri valori di n, ma mancava sempre il caso generale. Si sapeva comunque per certo che un eventuale controesempio (cioè una soluzione dell'equazione) doveva coinvolgere numeri molto grandi, dell'ordine di migliaia di cifre. Hanno anche provato a cercare il controesempio con l'impiego dei più potenti calcolatori, naturalmente senza successo.

Ora la dimostrazione c'è; non l'ho vista, ma posso affermare che non è certo quella mirabile, quindi breve, semplice, elegante che Fermat diceva di aver trovato.
Infatti il suo autore, Andrew Wiles, ha impiegato ben tre giorni di un congresso per esporla, utilizzando strumenti matematici molto complessi e certo impensabili ai tempi di Fermat.
Tutto risolto allora in aritmetica? Nemmeno per sogno. Rimangono ancora molti problemi insoluti, molte congetture che sembrano vere, ma resistono a ogni tentativo di dimostrazione o di confutazione. Anzi Kurt Gödel ha dimostrato nel 1931 che di tali problemi ne resteranno sempre.

Quale esempio di problema ancora aperto propongo il seguente:
Si parte da un numero qualunque. Se è pari lo di divide per due. Se è dispari lo si moltiplica per 3 e si aggiunge 1. Si continua poi fino a ottenere 1. Partendo con il 19 si ottiene la serie 19 - 58 - 29 - 88 - 44 - 22 - 11 - 34 - 17 - 52 - 26 - 13 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1.
Il lettore provi con altri numeri, ad esempio 27.
Il problema consiste nello stabilire, una volta per tutte, che la successione termina sempre con il numero 1, anche partendo da numeri molto grandi. L'esperienza dice di si, ma anche in questo caso manca ancora una dimostrazione definitiva come quella recentemente ottenuta per il teorema di Fermat.


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