Francesco Cavalli

Formule magiche


Nuova Libera Stampa, 31 marzo 1993

Si è fatto un gran parlare, in questo mese di marzo, della cosiddetta formula magica che regola la distribuzione tra quattro partiti delle sette poltrone del Consiglio Federale. Dopo tutto quanto è stato detto e scritto a proposito, non ho nessuna intenzione, e nemmeno ne sarei in grado, di aggiungere qualcosa in merito ai contenuti politici del dibattito. Così mi è venuto in mente di affrontare la questione da un punto di vista un po' più frivolo, analizzando le diverse combinazioni unicamente dal lato numerico. Si tratta di problemi di calcolo combinatorio, quel capitolo della matematica che studia situazioni relative ai numeri interi, in cui ci si chiede in quanti modi può essere realizzata una certa configurazione. Ad esempio in quanti modi diversi si possono scegliere 6 numeri tra 45 ? Gli abituali giocatori del lotto sanno che sono esattamente 8'145'060. Sette, il numero dei consiglieri federali, non è, contrariamente a un'opinione diffusa, un "numero perfetto". Infatti, in matematica, un numero perfetto è uguale alla somma dei suoi divisori, ovviamente escluso il numero stesso. Il più piccolo è 6 = 1 + 2 + 3; i successivi sono 28, 496, 8128, già noti a Euclide, mentre oggi se ne conosce oltre una ventina di altri, fino a ordini di grandezza di centinaia di cifre. Purtroppo sono tutti pari, e da noi è prassi che un esecutivo abbia un numero dispari di membri. Comunque 7 ha pure alcune proprietà interessanti. Ad esempio il poligono regolare di 7 lati è il più piccolo che non possa essere costruito con riga e compasso , oppure 7 è l'unico numero tale che la somma dei divisori del suo cubo sia un quadrato. Il problema della "formula magica" si riduce ad esaminare le possibili scomposizioni del numero 7 in una somma di altri numeri, tenendo conto di volta in volta delle ipotesi di partenza come il numero dei partiti. A prescindere dalla distribuzione partitica, 7 è scomponibile in 64 (2 alla sesta) modi diversi in una somma di numeri. Questa proprietà è abbastanza facilmente generalizzabile e quindi dimostrabile: il numero N è scomponibile in 2 elevato a N-1 modi diversi in una somma di numeri naturali. Tenendo conto anche la variabile partitica si possono considerare alcuni scenari principali (prendo a prestito il termine scenario in quanto è stato parecchio usato nelle settimane calde dell'elezione in Consiglio Federale).

Primo scenario: distribuzione dei sette posti tra i quattro partiti secondo la formula 2+2+2+1. Tutto molto semplice in quanto ci sono solo 4 possibilità diverse, basta stabilire a chi va un seggio.

Secondo scenario, sempre con gli stessi 4 partiti, ponendo però come unica condizione che ognuno ottenga almeno un posto. In altri termini, avendo a disposizione 4 urne A, B, C , D, in quanti modi si possono distribuire 7 palline in queste urne, senza lasciarne nessuna vuota ? O meglio ancora si tratta di trovare tutte le soluzioni, senza zeri, dell'equazione diofantea (da Diofanto, matematico greco del III secolo) a + b + c + d = 7. Le soluzioni sono 20, valore che si trova con il calcolo (6 . 5 .4) / (1 . 2 . 3).

Terzo scenario, ancora con i 4 partiti tradizionali,ma lasciando cadere la condizione che tutti debbano essere rappresentati. Quindi, tra le possibili combinazioni si ammettono anche quelle che assegnano tutti i seggi a un solo partito e naturalmente quelle, discusse recentemente, che escludono i socialisti dal governo. In termini più astratti si parla del numero di soluzioni in numeri naturali dell'equazione a + b + c + d = 7 , oppure del modello statistico di Bose-Einstein, utilizzato nella fisica delle particelle, ma che può essere ricondotto al problema di trovare in quanti modi si possono distribuire N palline indistinguibili in un certo numero di urne. Le soluzioni in questo caso sono ben 120, numero che si ottiene dal calcolo (10 . 9 . 8) / (1 . 2 . 3).

Quarto scenario, stavolta con un numero anche maggiore di partiti, ovviamente fino a un massimo di 7. Il modello è ancora quello di Bose-Einstein e il numero delle possibili combinazioni diventa (13 . 12 . 11 . 10 . 9 . 8) / (. 5 . 4 . 3 . 2 . 1) = 1720.

Se poi si lascia variare anche il numero delle poltrone disponibili ecco che si ottengono altre combinazioni, il cui numero si può facilmente determinare generalizzando i calcoli descritti nelle situazioni precedenti. Ad esempio chi vuole potrebbe divertirsia calcolare il numero di possibili configurazioni per il prossimo Consigliodi Stato.


Matematica
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