Francesco Cavalli

Matematica e paradossi


Nuova Libera Stampa, 17 ottobre 1992

"La matematica può pertanto definirsi come la materia nella quale non sappiamo mai di che cosa stiamo parlando né se quel che stiamo dicendo è vero."
Chi pensa alla matematica come alla scienza delle certezze, del due più due fa quattro, troverà certo qualche difficoltà ad accettare tranquillamente questa affermazione.
E' un po' quanto è accaduto anche a me quando, giovane insegnante appena diplomato in matematica, affrontai per la prima volta la lettura di alcune opere di Bertrand Russel - l'autore della frase citata - e fui così indotto ad approfondire le mie conoscienze intorno ai fondamenti della matematica.
Bertrand Russell (1872-1970) ha certamente lasciato un segno nella cultura del nostro secolo come scrittore e filosofo con numerose opere che hanno ottenuto anche un successo presso il pubblico, come Matrimonio e Morale (1929), L'educazione e l'ordine sociale (1932), L'elogio dell'ozio (1935), Storia della Filosofia occidentale (1945) .
Nei suoi ultimi anni fece parlare di sé anche come presidente del tribunale che porta il suo nome, istituito per giudicare i crimini di guerra americani in Vietnam. Russell comunque pacifista lo era già da giovane, tanto è vero che dovette scontare sei mesi di carcere nel 1918, durante i quali scrisse l'Introduzione alla filosofia matematica, un testo accessibile anche al profano, nel quale vengono spiegati i più importanti problemi posti dai concetti elementari della matematica (il numero, lo spazio, gli insiemi).
Ed è proprio come matematico che Russell ha dato i più qualificati contributi, come protagonista, nei primi anni del secolo, del dibattito sui fondamenti della matematica, soprattutto con i monumentali Principia Mathematica, scritti assieme a N. Whitehead tra il 1910 e il 1913. In ambito matematico il suo nome è pure legato a un famoso paradosso.
Il termine paradosso deriva dal greco paradoxos , composto da para (contro) e doxa (opinione) indica una proposizione formulata in evidente contraddizione con l'esperienza comune o con i principi elementari della logica ma che, sottoposta a rigoroso esame critico si dimostra valida.

Achille e la tartaruga
Storicamente i paradossi più noti sono quelli di Zenone di Elea, vissuto nel V secolo a.C.; tra essi il paradosso di Achille e la tartaruga.

Achille corre a una velocità dieci volte superiore a quella della tartaruga, la quale parte con un vantaggio di 100 metri. Nel momento in cui Achille raggiunge il punto T0 da cui è partita la tartaruga, questa si sarà spostata nel punto T'. Rapidamente Achille raggiungerà T', ma la tartaruga si sarà spostata in T'', e così via all'infinito. Se ne conclude che Achille non raggiungerà mai la tartaruga.
Il paradosso è evidente, in quanto chiunque sa benissimo che è vero il contrario e anche in matematica, con un'equazione di primo grado si può determinare quando avviene il sorpasso. Ma il problema sta nel far quadrare i conti utilizzando la stessa impostazione di Zenone. Si trova così una somma infinita :
100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ..... = 111,11111.....
Con lo con lo sviluppo del calcolo infinitesimale a partire dal XVII secolo si sono potuti risolvere in modo definitivo i problemi posti dalla somma di infiniti termini. A questo proposito Russell annota: "Si dimostra che, se Achille raggiungerà mai la tartaruga, questo dovrà accadere dopo che sia trascorso un numero infinito di istanti dal momento della sua partenza. E questo, di fatto, è vero; ma non è vero che un numero infinito di istanti dia origine a un tempo infinitamente lungo, e quindi non si può affatto concludere che Achille non raggiungerà mai la tartaruga."

Il paradosso di Russell
La teoria degli insiemi, fondata verso la metà dell'800 da Georg Cantor (1845 - 1918) sembrava poter dare una risposta ai diversi interrogativi aperti in merito ai fondamenti dell'aritmetica. Il matematico tedesco Gottlob Frege (1848 - 1925), con la sua opera Grundgesetze der Arithmetik, era convinto di aver posto fondamenti sicuri al concetto di numero e quindi a tutta la matematica. Ma Russell, in una lettera allo stesso Frege, fa notare di aver scoperto una difficoltà, sufficiente comunque a far crollare tutto l'edificio e ad aprire quella che è poi stata definita la crisi dei fondamenti.
Il problema riguarda gli insiemi che sono o non sono elementi di se stessi.
Ad esempio un gregge è un insieme di pecore ma non è una pecora, un insieme di biciclette non è una bicicletta, l'insieme delle lettere dell'alfabeto non è una lettera dell'alfabeto. Tutti questi insiemi non sono elementi di se stessi.
Se invece considero l'insieme delle non-biciclette, questo è certamente una non-bicicletta e quindi è elemento di se stesso. Analogamente si può considerare "l'insieme di tutte le cose che si possono definire usando 16 parole della lingua italiana "; se chiamiamo A questo insieme vediamo subito che anche A rispetta la definizione e dunque A è elemento di A.Ci sono quindi insiemi regolari (quelli che non appartengono a se stessi) e insiemi singolari (che appartengono a se stessi). Una delle caratteristiche principali del lavoro matematico è quella del generalizzare. Nel nostro caso ciò consiste nel considerare l'insieme di tutti gli insiemi regolari. Sia M questo insieme. Sorge subito una domanda : M è regolare o singolare ?
Ammettiamo dapprima che M sia regolare (M non è un elemento di M); ma se M è regolare, allora è un elemento di M, quindi singolare. Viceversa se M fosse singolare(M elemento di M), dalla definizione di M consegue che M non appartiene a M e quindi l'insieme è regolare.
L'insieme M conduce quindi ad una palese contraddizione che, assieme ad altri problemi emersi nello stesso periodo, mette in crisi i fondamenti della matematica. Lavori successivi dello stesso Russel (teoria dei tipi logici) e di Zermelo e Fraenkel (costruzione assiomatica della teoria degli insiemi) permetteranno di superare questo ostacolo. Ma introdurre una costruzione assiomatica, che è la forma classica di ina teoria matematica, significa proprio confermare la giustezza della frase di Russell citata all'inizio di questo articolo.

Il barbiere e i mentitori
Nel 1918 Russell presenta una versione più pittoresca del paradosso:
Un villaggio ha tra i suoi abitanti un solo barbiere. Egli è un uomo ben sbarbato che rade tutti e unicamente gli uomini del villaggio che non si radono da soli. Se i fatti stanno in questo modo sorge immediatamente la domanda: "Chi rade il barbiere?". Se distinguiamo gli uomini del villaggio in due insiemi, quelli che si radono da soli e quelli che si fanno radere dal barbiere, ricadiamo in pieno nelle premesse del paradosso di Russell.
Tra i paradossi più antichi e più discussi bisogna annoverare quello del mentitore che viene presentato in moltissime versioni, come, ad esempio, quella che presenta il cretese Epimenide che afferma "tutti i cretesi sono mentitori". Come possiamo determinare il valore di verità dell'affermazione di Epimenide? Sia che la si ammetta vera che falsa si cade subito in contraddizione.

E, a proposito di mentitori, concludo con un piccolo problema.
Un viandante giunge a un bivio presso il quale stanno due gemelli dei quali uno dice sempre la verità mentre l'atro mente continuamente. Per sapere qual è la strada giusta, il viandante può porre una sola domanda a uno solo dei due gemelli, senza sapere chi dei due è il mentitore,
Quale domanda deve porre per essere sicuro di farsi indicare la via giusta?

Bibliografia:
Niccolas Falletta, Il libro dei paradossi, Longanesi 1983.


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