Matematica e paradossi

"La matematica può pertanto definirsi come la materia nella quale non sappiamo mai di che cosa stiamo parlando né se quel che stiamo dicendo è vero."
Chi pensa alla matematica come alla scienza delle certezze, del due più due fa quattro, troverà certo qualche difficoltà ad accettare tranquillamente questa affermazione.
E' un po' quanto è accaduto anche a me quando, giovane insegnante appena diplomato in matematica, affrontai per la prima volta la lettura di alcune opere di Bertrand Russel - l'autore della frase citata - e fui così indotto ad approfondire le mie conoscienze intorno ai fondamenti della matematica.
Bertrand Russell (1872-1970) ha certamente lasciato un segno nella cultura del nostro secolo come scrittore e filosofo con numerose opere che hanno ottenuto anche un successo presso il pubblico, come Matrimonio e Morale (1929), L'educazione e l'ordine sociale (1932), L'elogio dell'ozio (1935), Storia della Filosofia occidentale (1945) .
Nei suoi ultimi anni fece parlare di sé anche come presidente del tribunale che porta il suo nome, istituito per giudicare i crimini di guerra americani in Vietnam. Russell comunque pacifista lo era già da giovane, tanto è vero che dovette scontare sei mesi di carcere nel 1918, durante i quali scrisse l'Introduzione alla filosofia matematica, un testo accessibile anche al profano, nel quale vengono spiegati i più importanti problemi posti dai concetti elementari della matematica (il numero, lo spazio, gli insiemi).
Ed è proprio come matematico che Russell ha dato i più qualificati contributi, come protagonista, nei primi anni del secolo, del dibattito sui fondamenti della matematica, soprattutto con i monumentali Principia Mathematica, scritti assieme a N. Whitehead tra il 1910 e il 1913. In ambito matematico il suo nome è pure legato a un famoso paradosso.
Il termine paradosso deriva dal greco paradoxos , composto da para (contro) e doxa (opinione) indica una proposizione formulata in evidente contraddizione con l'esperienza comune o con i principi elementari della logica ma che, sottoposta a rigoroso esame critico si dimostra valida.

Achille e la tartaruga
Storicamente i paradossi più noti sono quelli di Zenone di Elea, vissuto nel V secolo a.C.; tra essi il paradosso di Achille e la tartaruga.

Achille corre a una velocità dieci volte superiore a quella della tartaruga, la quale parte con un vantaggio di 100 metri. Nel momento in cui Achille raggiunge il punto T0 da cui è partita la tartaruga, questa si sarà spostata nel punto T'. Rapidamente Achille raggiungerà T', ma la tartaruga si sarà spostata in T'', e così via all'infinito. Se ne conclude che Achille non raggiungerà mai la tartaruga.
Il paradosso è evidente, in quanto chiunque sa benissimo che è vero il contrario e anche in matematica, con un'equazione di primo grado si può determinare quando avviene il sorpasso. Ma il problema sta nel far quadrare i conti utilizzando la stessa impostazione di Zenone. Si trova così una somma infinita :
100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ..... = 111,11111.....
Con lo con lo sviluppo del calcolo infinitesimale a partire dal XVII secolo si sono potuti risolvere in modo definitivo i problemi posti dalla somma di infiniti termini. A questo proposito Russell annota: "Si dimostra che, se Achille raggiungerà mai la tartaruga, questo dovrà accadere dopo che sia trascorso un numero infinito di istanti dal momento della sua partenza. E questo, di fatto, è vero; ma non è vero che un numero infinito di istanti dia origine a un tempo infinitamente lungo, e quindi non si può affatto concludere che Achille non raggiungerà mai la tartaruga."

Il paradosso di Russell
La teoria degli insiemi, fondata verso la metà dell'800 da Georg Cantor (1845 - 1918) sembrava poter dare una risposta ai diversi interrogativi aperti in merito ai fondamenti dell'aritmetica. Il matematico tedesco Gottlob Frege (1848 - 1925), con la sua opera Grundgesetze der Arithmetik, era convinto di aver posto fondamenti sicuri al concetto di numero e quindi a tutta la matematica. Ma Russell, in una lettera allo stesso Frege, fa notare di aver scoperto una difficoltà, sufficiente comunque a far crollare tutto l'edificio e ad aprire quella che è poi stata definita la crisi dei fondamenti.
Il problema riguarda gli insiemi che sono o non sono elementi di se stessi.
Ad esempio un gregge è un insieme di pecore ma non è una pecora, un insieme di biciclette non è una bicicletta, l'insieme delle lettere dell'alfabeto non è una lettera dell'alfabeto. Tutti questi insiemi non sono elementi di se stessi.
Se invece considero l'insieme delle non-biciclette, questo è certamente una non-bicicletta e quindi è elemento di se stesso. Analogamente si può considerare "l'insieme di tutte le cose che si possono definire usando 16 parole della lingua italiana "; se chiamiamo A questo insieme vediamo subito che anche A rispetta la definizione e dunque A è elemento di A.Ci sono quindi insiemi regolari (quelli che non appartengono a se stessi) e insiemi singolari (che appartengono a se stessi). Una delle caratteristiche principali del lavoro matematico è quella del generalizzare. Nel nostro caso ciò consiste nel considerare l'insieme di tutti gli insiemi regolari. Sia M questo insieme. Sorge subito una domanda : M è regolare o singolare ?
Ammettiamo dapprima che M sia regolare (M non è un elemento di M); ma se M è regolare, allora è un elemento di M, quindi singolare. Viceversa se M fosse singolare(M elemento di M), dalla definizione di M consegue che M non appartiene a M e quindi l'insieme è regolare.
L'insieme M conduce quindi ad una palese contraddizione che, assieme ad altri problemi emersi nello stesso periodo, mette in crisi i fondamenti della matematica. Lavori successivi dello stesso Russel (teoria dei tipi logici) e di Zermelo e Fraenkel (costruzione assiomatica della teoria degli insiemi) permetteranno di superare questo ostacolo. Ma introdurre una costruzione assiomatica, che è la forma classica di ina teoria matematica, significa proprio confermare la giustezza della frase di Russell citata all'inizio di questo articolo.

Il barbiere e i mentitori
Nel 1918 Russell presenta una versione più pittoresca del paradosso:
Un villaggio ha tra i suoi abitanti un solo barbiere. Egli è un uomo ben sbarbato che rade tutti e unicamente gli uomini del villaggio che non si radono da soli. Se i fatti stanno in questo modo sorge immediatamente la domanda: "Chi rade il barbiere?". Se distinguiamo gli uomini del villaggio in due insiemi, quelli che si radono da soli e quelli che si fanno radere dal barbiere, ricadiamo in pieno nelle premesse del paradosso di Russell.
Tra i paradossi più antichi e più discussi bisogna annoverare quello del mentitore che viene presentato in moltissime versioni, come, ad esempio, quella che presenta il cretese Epimenide che afferma "tutti i cretesi sono mentitori". Come possiamo determinare il valore di verità dell'affermazione di Epimenide? Sia che la si ammetta vera che falsa si cade subito in contraddizione.

E, a proposito di mentitori, concludo con un piccolo problema.
Un viandante giunge a un bivio presso il quale stanno due gemelli dei quali uno dice sempre la verità mentre l'atro mente continuamente. Per sapere qual è la strada giusta, il viandante può porre una sola domanda a uno solo dei due gemelli, senza sapere chi dei due è il mentitore,
Quale domanda deve porre per essere sicuro di farsi indicare la via giusta?

Bibliografia:
Niccolas Falletta, Il libro dei paradossi, Longanesi 1983.