Francesco Cavalli

Dalle tangenti alla quadratura del cerchio


Nuova Libera Stampa, 31 dicembre 1992

Nel 1992 il linguaggio matematico ha trovato posto sulle prime pagine dei giornali, non certo per meriti propri, quanto per demerito di una certa classe politica; tutti ormai conoscono e usano il termine tangente nel suo significato di "quota parte ricevuta in cambio di un favore".
Non tutti, invece, conoscono con precisione i due significati matematici della tangente: quello geometrico che indica la posizione di una retta rispetto a una curva e quello trigonometrico, correlato al precedente, che esprime una funzione di un angolo e serve ad esempio per indicare le pendenze. Soprattutto il significato geometrico non è così semplice come può sembrare a prima vista, in quanto, se si esclude il caso della tangente a una circonferenza, per altre curve, una definizione rigorosa deve far appello al concetto di limite e quindi a nozioni di analisi infinitesimale.
Altri concetti matematici sono stati usati come metafore, basti pensare alle "convergenze parallele", che mi ricordano tanto le geometrie non euclidee di Bolyai e Lobacevskij, o per restare nei nostri confini, alla "Repubblica dell'iperbole", anche se in questo caso un filologo potrebbe obiettarmi che il concetto di iperbole come figura retorica è precedente alla teoria delle sezioni coniche.

Un'altra metafora di uso frequente è la quadratura del cerchio, che viene adoperata per indicare un problema impossibile da risolvere. ("Il pareggio del bilancio è come la quadratura del cerchio.")

In geometria trovare la quadratura del cerchio significa costruire un quadrato avente la stessa area di un cerchio dato, utilizzando soltanto gli strumenti classici (riga e compasso); in algebra significa trovare un'espressione di pi-greco facendo capo solo alle quattro operazioni aritmetiche e alla radice quadrata.
I Greci avevano ottenuto grandi risultati in geometria (non altrettanto nello studio dei numeri), ma avevano incontrato tre problemi che nessuno riusciva a risolvere con una costruzione: la quadratura del cerchio, la duplicazione del cubo e la trisezione dell'angolo. Il problema della duplicazione del cubo vien fatto risalire a una leggenda secondo la quale gli Ateniesi, per porre fine a un'epidemia, chiesero aiuto all'oracolo di Delfo, il quale sentenziò che per placare le ire divine occorreva raddoppiare l'ara di Apollo. Questo altare era un cubo e da qui sorse il problema. Già da tempo si conoscevano metodi empirici approssimati per risolvere siffatti problemi, ma la scienza classica non li considerava più di tanto, in quanto le uniche soluzioni vere dovevano essere con riga e compasso.

Solo il grande Archimede (287 - 212 a.C.) affrontò il problema da un'altra ottica, e dimostrò, operando sui poligoni regolari inscritti e circoscritti alla circonferenza (fino a 96 lati) che pi-greco è compreso tra 223/71 e 22/7. Si tratta di approssimazioni di tutto rispetto applicabili ancora oggi nella maggior parte delle situazioni pratiche.

Già Eudosso e poi Euclide avevano adottato il "metodo di esaustione" che non è altro se non un primo tentativo di formalizzare il concetto di limite infinito; Archimede lo perfezionò e ottenne così risultati, eccezionali per l'epoca, nello studio della sfera e della parabola.

Ma il problema della quadratura tramite una costruzione rimaneva insoluto e i tentativi per risolverlo furono innumerevoli nei secoli seguenti, fino a quando nel 1882 il matematico tedesco Carl Ferdinand Lindemann (1852 - 1939) pose fine alle discussioni dimostrandone l'impossibilità.

Nel frattempo, a partire dal XVII secolo, con lo sviluppo dell'analisi infinitesimale, molti matematici come Newton (1643 - 1727) , Leibniz (1646 - 1716) , Wallis (1616 - 1703) , Eulero (1707 - 1783) , Gregory (1638 - 1675) avevano sviluppato algoritmi per il calcolo di pi-greco con somme infinite riuscendo a ottenere (senza calcolatrici!) oltre 100 cifre decimali.

Oggi, con i potentissimi calcolatori di cui dispongono i centri di ricerca, e grazie a nuovi algoritmi, sviluppati in particolare dal matematico indiano Srinivasa Ramanujan (1887-1920), si possono calcolare oltre 100 milioni di cifre decimali di pi-greco.

Ritornando alla metafora, chi paragona un problema alla quadratura del cerchio per dire che è impossibile, dovrebbe ricordare che questa impossibilità concerne soltanto la soluzione geometrica in senso euclideo, cioè con gli strumenti classici, mentre in senso archimedeo la si può ottenere con un'approssimazione precisa fin che si vuole.

Una chiave originale per una buona approssimazione è data dai versi in francese che il lettore può mandare a memoria (come si usava in certe scuole dell'800), se desidera fare a meno di tavole e calcolatrici!

Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages!
Glorieux Archimède, artiste ingénieux,
Toi de qui Syracuse aime encore la gloire,
Soit ton nom conservé par de savants grimoires
Jadis, mystérieux un problème bloquait
Tout l'admirable procédé l'oeuvre grandiose
Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.
O quadrature! vieux tourment du philosophe!
Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez
Défié Pythagore et ses imitateurs.
Comment intégrer l'espace plan circulaire?
Former un triangle auquel il équivadra?
Nouvelle invention: Archimède inscrira
Dedans un hexagone; appréciera son aire
Fonction du rayon. Pas trop ne s'y tiendra:
Dédoublera chaque élément antérieur;
Toujours de l'orbe calculée approchera;
Définira limite; enfin, l'arc, le limiteur
De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle!
Professeur, enseignez son problème avec zèle!

Per chi volesse più cifre, eccone 10000


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